lunes, 23 de mayo de 2011

3.16.2.Determinacion de la transformada de laplace inversa usando los teoremas de heaviside


La función de heaviside se definio sobre el intervalo $ [0,+ \infty[$, pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general $ H(t-a)=0$ para $ t < a$.   

 
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función $ f(t)=H(t-1)$.

Solución
La función $ f(t)$ está dada por



\begin{displaymath}
f(t) =
\begin{cases}
0 & \text{Si $0 \leq t < 1$\ } \\
1 & \text{Si $t \geq 1$} \\
\end{cases}
\end{displaymath}

y su gráfica se muestra en la figura 1.5
Figura 1.5

Cuando la función de Heaviside $ H(t-a)$ se multilplica por una función $ f(t)$, definida para $ t
\geq 0$, ésta función se desactiva en el intervalo $ [0,a]$

3.16.1 transformada de la place mediante funciones inversas

Una de las estrategias que pueden emplearse para obtener la transformada Inversa de Laplace (o $ \mathcal{Z}$) de una función racional de polinomios en $ s$ (o $ z$):
$\displaystyle F(s)=\frac{\alpha_ms^m+\cdots+\alpha_1s+\alpha_0}{\beta_ns^n+\cdots+\beta_1s+\beta_0}
$
consiste en reescribir $ F(s)$ (o $ F(z)$) como suma de funciones más sencillas, cuyas transformadas inversas sean posibles de obtener mediante la lectura de las tablas de parejas. Este procedimiento se conoce como la expansión en fracciones parciales.
El procedimiento general puede enumerarse como sigue:
  1. Si $ m\geq n$ entonces se realiza la división hasta obtener una fracción en la que el grado del polinomio del denominador sea mayor al del numerador; en los siguientes puntos se trabaja sólo con la fracción.

    Ejemplo 2.5  
    $\displaystyle F(s)=\frac{2s^2+s+2}{s+1}=2s-1+\frac{3}{s+1}
$
  2. Identificar las raíces del polinomio del denominador ($ p_i$), y cuántas veces se repite cada una de ellas ($ r_i$, o multiplicidad de la raiz).
    $\displaystyle F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{N(s)}{(s-p_1)^{r_1}(s-p_2)^{r_2}\cdots(s-p_k)^{r_k}}
$

    Evidentemente la suma de las multiplicidades será $ n$, el grado del polinomio $ D(s)$
  3. Escribir la fracción como suma de de fracciones parciales:
    $\displaystyle F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{A_{11}}{(s-p_1)}+\cdots+\frac{A_{1r_1}}{(s-p_1)^{r_1}}+
\frac{A_{21}}{(s-p_2)}+\cdots+\frac{A_{kr_k}}{(s-p_k)^{r_k}}
$
  4. Obtener los coeficientes $ A_{ij}$
Este sencillo procedimiento tiene dos puntos de dificultad, el primero de los cuales es cómo encontrar las raíces de $ D(s)$, y el segundo cómo obtener los coeficientes $ A_{ij}$.
Para la obtención de las raíces suponemos que disponemos de algún tipo de procedimiento (analítico o computacional) para ello. Para la obtención de los coeficientes $ A_{ij}$, por su parte, pueden seguirse los siguientes procedimientos, según sea el caso:
  1. Polos de multiplicidad 1 Si el polo $ p_i$ tiene multiplicidad $ 1$, el coeficiente $ A_{i1}$ de la expansión podrá calcularse como:
    $\displaystyle A_{i1}=\left.\left\{(s-p_i)F(s)\right\}\right\vert _{s=p_i}$(2.15)




    Ejemplo 2.6  
    $\displaystyle F(s)=\frac{-3s+1}{(s+2)(s+4)}=\frac{A_{11}}{s+2} + \frac{A_{21}}{s+4}
$


    $\displaystyle A_{11}$$\displaystyle =\left.\left\{(s+2)\frac{-3s+1}{(s+2)(s+4)}\right\}\right\vert _{s=-2} =\left.\left\{\frac{-3s+1}{(s+4)}\right\}\right\vert _{s=-2}=\frac{7}{2}$   
    $\displaystyle A_{21}$$\displaystyle =\left.\left\{(s+4)\frac{-3s+1}{(s+2)(s+4)}\right\}\right\vert _{s=-4} =\left.\left\{\frac{-3s+1}{(s+2)}\right\}\right\vert _{s=-4}=-\frac{13}{2}$   



    $\displaystyle F(s)=\frac{-3s+1}{(s+2)(s+4)}=\frac{7/2}{s+2} + \frac{-13/2}{s+4}
$

miércoles, 18 de mayo de 2011

Algunas transformadas inversas
a)  b) 
c)  d) 
e)  f) 
g) 
 es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si  y  son constantes,
en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.